Question

设函数f（x）=lg（

2

1-x

+a）是奇函数，则f（x）＜0的解集为

 

．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：先利用奇偶性求a的值，再判断f（x）的单调性，将f（x）＜0化为具体的不等式

1+x

1-x

＜1即可．

解答： 解：∵f（x）=lg（

2

1-x

+a），∴f（0）=0，∴lg（2+a）=0，∴a=-1．
∴f（x）=lg（

2

1-x

-1），

2

1-x

-1＞0，得

1+x

1-x

＞0，-1＜x＜1，令t=

2

1-x

-1，
设-1＜x₁＜x₂＜1，t1-t2=

2

1-x1

-

2

1-x2

=

2(x1-x2)

(1-x1)(1-x2)

＜0
∴t₁＜t₂，∴lgt₁＜lgt₂∴f（x₁）＜f（x₂），故y=f（x）在（-1，1）上是单调增函数
又∵f（x）是奇函数，∴f（0）=0，则f（x）＜0化为

1+x

1-x

＜1，

1+x

1-x

-1=

2x

1-x

＜0，得x＜0，或x＞1，又∵-1＜x＜1，∴-1＜x＜0
故解集为：（-1，0）．

点评：本题利用奇偶性结合单调性解复合函数不等式，属于中档题型