Question

已知f（x）=|2x-1|-|x+1|．
（Ⅰ）求f（x）＞x解集；
（Ⅱ）若a+b=1，对?a，b∈（0，+∞），

1

a

+

4

b

≥|2x-1|-|x+1|恒成立，求x的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）依题意，对自变量x的取值范围分类讨论，去掉绝对值符号，即可求得f（x）＞x解集；
（Ⅱ）首项利用基本不等式求得

1

a

+

4

b

≥9，再通过对x的范围分类讨论，解绝对值不等式|2x-1|-|x+1|≤9即可．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=|2x-1|-|x+1|=

-x+2，x＜-1 -3x，-1≤x≤ 1 2 x-2，x＞ 1 2

．
∵f（x）＞x，
∴当x＜-1时，-x+2＞x，解得x＜1，故x＜-1；
当-1≤x≤

1

2

时，-3x＞x，解得x＜0，故-1≤x＜0；
当x＞

1

2

时，x-2＞x，该不等式无解；
综上所述，f（x）＞x解集为{x|x＜0}；
（Ⅱ）∵a+b=1，对?a，b∈（0，+∞），（a+b）（

1

a

+

4

b

）=5+

b

a

+

4a

b

≥9，
∴|2x-1|-|x+1|≤9，
当x＜-1时，1-2x+x+1≤9，解得-7≤x＜-1；
当-1≤x≤

1

2

时，-3x≤9，解得x≥-3，故-1≤x≤

1

2

；
当x＞

1

2

时，x-2≤9，解得

1

2

＜x≤11．
综上所述，-7≤x≤11，即x的取值范围为[-7，11]．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，着重考查分类讨论思想与等价转化思想的综合运用，考查恒成立问题及基本不等式与集合的运算，属于中档题．