Question

定义在R上的偶函数f（x），恒满足f（x+1）=f（1-x）成立，且在[-1，0]上为减函数，比较a=f[（

9

27

） 

1

3

]b=f（

7

4

），c=f（log₂

1

8

）的大小（　　）

• A、a＜b＜c
• B、b＜c＜a
• C、a＜c＜b
• D、b＜a＜c

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：函数为偶函数，则f（x+1）=f（1-x）=f（x-1），令x=x+1，f（x+1+1）=f（x+1-1）得f（x+2）=f（x），则函数f（x）为周期为2的周期函数，
在[-1，0]上为减函数，推出在[0，1]上为增函数，化简再比较大小．

解答： 解：∵函数为偶函数，在[-1，0]上为减函数，∴在[0，1]上为增函数
又f（x+1）=f（1-x）=f（x-1），
令x=x+1
f（x+1+1）=f（x+1-1）
∴f（x+2）=f（x），
则函数f（x）为周期为2的周期函数，
a=f[（

9

27

） 

1

3

]=f（

3

3

），
b=f（

7

4

）=f（

7

4

-2）=f（-

1

4

）=f（

1

4

），
c=f（log₂

1

8

）=f（-3）=f（3）=f（1），
∵

1

4

＜

3

3

＜1，且∵在[0，1]上为增函数
∴f（

1

4

）＜f（

3

3

）＜f（1），
∴b＜a＜c
故选：D．

点评：本题考查了函数的周期性，考查了函数奇偶性的性质，考查了学生灵活分析问题和解决问题的能力，是中档题．