Question

定义在R上的函数f（x）满足f（x-2）是偶函数且f（x+1）是奇函数，又f（4）=2013，则f（2014）=

 

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Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：根据题意求出函数f（x）的对称轴为x=-2，对称中心为（1，0），从而求出函数f（x）的周期，进而求出f（2014）的值．

解答： 解：∵f（x-2）是偶函数，∴f（x-2）的对称轴为x=0，
f（x-2）向左平移两个单位得到f（x）的图象，∴f（x）的对称轴为x=-2，
∵f（x+1）是奇函数，∴f（x+1）的对称中心为（0，0），
f（x+1）向右平移1个单位得到f（x）的图象，∴f（x）的对称中心为（1，0）
对称轴与对称中心的距离为3，∴周期T=4×3=12，
由2014=12×167+10，∴f（2014）=f（10）=f（-2），
f（-2）和f（4）正好关于f（x）的对称中心（1，0）对称，
而f（4）=2013，∴f（-2）=-2013，∴f（2014）=-2013，
故答案为：-2013．

点评：本题考查了函数的周期性，函数的奇偶性，是一道中档题．