Question

已知a，b∈R⁺且a+b=1．
（1）求a²+b²的最小值；
（2）求(

1

a2

-1)(

1

b2

-1)的最小值．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）利用a2+b2≥

(a+b)2

2

即可得出；
（2）化简(

1

a2

-1)(

1

b2

-1)=

(1+a)(1+b)

ab

=

2+ab

ab

=

2

ab

+1，再利用ab≤(

a+b

2

)2即可得出．

解答： 解：（1）∵a，b∈R⁺且a+b=1．
∴a2+b2≥

(a+b)2

2

=

1

2

，当且仅当a=b=

1

2

时，a²+b²取得最小值

1

2

．
（2）(

1

a2

-1)(

1

b2

-1)=

(1-a)(1+a)(1-b)(1+b)

a2b2

=

(1+a)(1+b)

ab

=

2+ab

ab

=

2

ab

+1≥

2

( a+b 2 )2

+1=9．
当且仅当a=b=

1

2

时，(

1

a2

-1)(

1

b2

-1)取得最小值9

点评：本题考查了基本不等式的性质，考查了计算能力，属于中档题．