Question

一种设备的价值为a元，设备的维修和消耗费用第一年为b元，以后每年增加b元，用t表示设备使用的年数，用y表示设备的年平均费用，则y=设备年平均维修费和消耗费用+设备价值的年折旧．（注：年折旧=设备价值÷使用年数）
（Ⅰ） 写出y关于t的函数关系式；
（Ⅱ） 若a=450000元，b=1000元时，求这种设备的最佳使用年限（使年平均费用最低的t）．

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）根据条件结合等差数列的性质即可写出y关于t的函数关系式；
（Ⅱ）利用基本不等式即可得到结论．

解答： 解：（I）设此设备使用了t年，由题意，设备维修、消耗费用构成以b为首项，b为公差的等差数列，
因此年平均维修、消耗费用为

b+2b+…+tb

t

₌

b

2

（t+1），（元）
年平均价值费用为

a

t

元，
于是有y=

b(t+1)

2

+

a

t

=

b

2

+

bt

2

+

a

t

，t＞0．
（II）若a=450000元，b=1000元时，
则y=500+500（t+

900

t

）≥500+500•2

t• 900 t

=500+30000=30500，
当且仅当t=

900

t

，即t=30时，等号成立，即设备使用30年最佳．

点评：本题主要考查函数的应用问题，解决此题的关键是建立数列模型，求出年平均费用．