Question

已知A、B、C为锐角△ABC的三个内角，向量

m

=（2-2sinA，cosA+sinA）与

n

=（sinA-cosA，1+sinA）共线．
（1）求角A的大小和求角B的取值范围；
（2）讨论函数y=2sin²B+cos

C-3B

2

的单调性并求其值域．

Answer 1

考点：平面向量的综合题

专题：平面向量及应用

分析：（1）由已知得得（2-2sinA）•（1+sinA）-（cosA+sinA）•（sinA-cosA）=2-2sin²A-sin²A+cos²A=3-4sin²A=0，由此能求出角A的大小和求角B的取值范围．
（2）y=2sin²B+cos

C-3B

2

=

3

2

sin2B-

1

2

cos2B+1=sin(2B-

π

6

)+1，B∈(

π

6

，

π

2

)，由此能求出其单调性并求其值域．

解答： 解：（1）

m

=(2-2sinA，cosA+sinA)与

n

=(sinA-cosA，1+sinA)共线，
得（2-2sinA）•（1+sinA）-（cosA+sinA）•（sinA-cosA）
=2-2sin²A-sin²A+cos²A=3-4sin²A=0，
由A为锐角得sinA=

3

2

，从而A=

π

3

，
又因为锐角三角形，B∈(0，

π

2

)，且C=π-A-B∈(0，

π

2

)
解得B∈(

π

6

，

π

2

)．
（2）y=2sin2B+cos(

C-3B

2

)=2sin2B+cos(

2 3 π-B-3B

2

)
=1-cos2B+cos(

π

3

-2B)=1-cos2B+

1

2

cos2B+

3

2

sin2B
=

3

2

sin2B-

1

2

cos2B+1=sin(2B-

π

6

)+1，B∈(

π

6

，

π

2

)，
该函数在(

π

6

，

π

3

)上单调递增，在(

π

3

，

π

2

)上单调递减，2B-

π

6

∈(

π

6

，

5π

6

)，y=sin(2B-

π

6

)+1∈(

3

2

，2]．

点评：本题考查角A的大小和求角B的取值范围的求法，考查函数y=2sin²B+cos

C-3B

2

的单调性的讨论并求其值域，是中档题．