Question

以椭圆C：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的中心O为圆心，以

ab 2

为半径的圆称为该椭圆的“伴随”．已知椭圆的离心率为

3

2

，且过点(

1

2

，

3

)．
（1）求椭圆C及其“伴随”的方程；
（2）过点P（0，m）作“伴随”的切线l交椭圆C于A，B两点，记△AOB（O为坐标原点）的面积为S_△AOB，将S_△AOB表示为m的函数，并求S_△AOB的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由椭圆C的离心率，结合a，b，c的关系，得到a=2b，设椭圆方程，再代入点(

1

2

，

3

)，即可得到椭圆方程和“伴随”的方程；
（2）设切线l的方程为y=kx+m，联立椭圆方程，消去y得到x的二次方程，运用韦达定理和弦长公式，即可得到AB的长，由l与圆x²+y²=1相切，得到k，m的关系式，求出三角形ABC的面积，运用基本不等式即可得到最大值．

解答： 解：（1）椭圆C的离心率为

3

2

，即c=

3

2

a，
由c²=a²-b²，则a=2b，
设椭圆C的方程为

y2

4b2

+

x2

b2

=1，
∵椭圆C过点(

1

2

，

3

)，∴

3

4b2

+

1

4b2

=1，
∴b=1，a=2，以

ab 2

为半径即以1为半径，
∴椭圆C的标准方程为

y2

4

+x2=1，
椭圆C的“伴随”方程为x²+y²=1．
（2）由题意知，|m|≥1．
易知切线l的斜率存在，设切线l的方程为y=kx+m，
由

y=kx+m y 2   4 + x 2   =1

得(

k

2

+4)

x

2

+2k mx+m2-4=0，
设A，B两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
则x1+x2=-

2km

k2+4

，x1x2=

m2-4

k2+4

．
又由l与圆x²+y²=1相切，所以

|m|

k2+1

=1，k²=m²-1．
所以|AB|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

(1+k2)[ 4k2m2 (k2+4)2 - 4(m2-4) k2+4 ]

=

4 3 |m|

m2+3

，
则S△AOB=

1

2

|AB|=

2 3 |m|

m2+3

，|m|≥1．
S△AOB=

2 3

|m|+ 3 |m|

≤

2 3

2 |m| 3 |m|

=1（当且仅当m=±

3

时取等号）
所以当m=±

3

时，S_△AOB的最大值为1．

点评：本题考查椭圆的方程和性质，考查联立直线方程和椭圆方程，消去未知数，运用韦达定理和弦长公式的运用，考查直线与圆相切的条件，考查运算能力，属于中档题．