Question

11．已知函数g（x）=x²-（m-1）x+m-7．
（1）若函数g（x）在[2，4]上具有单调性，求实数m的取值范围；
（2）若在区间[-1，1]上，函数y=g（x）的图象恒在y=2x-9图象上方，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的对称轴，根据二次函数的单调性求出m的范围即可；
（2）问题转化为x²-（m+1）x+m+2＞0对任意x∈[-1，1]恒成立，设h（x）=x²-（m+1）x+m+2，求出函数的对称轴，通过讨论对称轴的范围，求出m的范围即可．

解答 解：（1）对称轴x=$\frac{m-1}{2}$，且图象开口向上．
若函数g（x）在[2，4]上具有单调性，
则满足$\frac{m-1}{2}$≤2或$\frac{m-1}{2}$≥4，
解得：m≤5或m≥9；
（2）若在区间[-1，1]上，函数y=g（x）的图象恒在y=2x-9图象上方，
则只需：x²-（m-1）x+m-7＞2x-9在区间[-1，1]恒成立，
即x²-（m+1）x+m+2＞0对任意x∈[-1，1]恒成立，
设h（x）=x²-（m+1）x+m+2其图象的对称轴为直线x=$\frac{m+1}{2}$，且图象开口向上
①当$\frac{m+1}{2}$≥1即m≥1时，h（x）在[-1，1]上是减函数，
所以h（x）_min=h（1）=2＞0，
所以：m≥1；
②当-1＜$\frac{m+1}{2}$＜1，即-3＜m＜1，函数h（x）在顶点处取得最小值，
即h（x）_min=h（$\frac{m+1}{2}$）=m+2-$\frac{{（m+1）}^{2}}{4}$＞0，解得：1-2$\sqrt{2}$＜m＜1；
③当$\frac{m+1}{2}$≤-1即m≤-3时，h（x）在[-1，1]上是增函数，
所以，h（x）min=h（-1）=2m+4＞0，解得：m＞-2，
此时，m∈∅；
综上所述：m＞1-2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性以及分类讨论思想，是一道中档题．