Question

20．如图，在几何体P-ABCD中，平面ABCD⊥平面PAB，四边形ABCD为矩形，△PAB为正三角形，若AB=2，AD=1，E，F 分别为AC，BP中点．
（Ⅰ）求证EF∥平面PCD；
（Ⅱ）求直线DP与平面ABCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （I）连结BD，则E为BD的中点，利用中位线定理得出EF∥PD，故而EF∥面PCD；
（II）取AB中点O，连接PO，DO，得出PO⊥平面ABCD，于是，∠PDO为DP与平面ABCD所成角，求出OP，DP，得直线DP与平面ABCD所成角的正弦值．

解答 （Ⅰ）证明：因为E为AC中点，所以DB与AC交于点E．
因为E，F分别为AC，BP中点，所以EF是△BDP的中位线，
所以EF∥DP．
又DP?平面PCD，EF?平面PCD，
所以EF∥平面PCD．
（Ⅱ）解：取AB中点O，连接PO，DO．
∵△PAB为正三角形，∴PO⊥AB，
又∵平面ABCD⊥平面PAB
∴PO⊥平面ABCD，∴DP在平面ABCD内的射影为DO，∠PDO为DP与平面ABCD所成角，
OP=$\sqrt{3}$，DP=$\sqrt{5}$，在Rt△DOP中，sin∠PDO=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
∴直线DP与平面ABCD所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

点评 本题考查了线面平行的判定，线面角的计算，作出线面角并证明是解题关键，属于中档题．