Question

2．设椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）过点M（$\sqrt{3}$，$\sqrt{2}$），且离心率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，直线l过点P（3，0），且与椭圆C交于不同的A、B两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，则$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{2}{3}$①，将M（$\sqrt{3}$，$\sqrt{2}$），代入椭圆方程，即可求得椭圆的标准方程；
（2）设其方程为：y=k（x-3），代入椭圆方程，由△＞0，解得：k²＜$\frac{4}{3}$，$\overrightarrow{PA}$=（x₁-3，y₁），$\overrightarrow{PB}$=（x₂-3，y₂），则$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=（x₁-3）（x₂-3）+y₁y₂=（k²+1）[x₁x₂-3（x₁+x₂）+9]，由韦达定理可知，代入求得$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=2+$\frac{2}{3{k}^{2}+2}$，由k的取值范围，即可求得$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的取值范围．

解答 解：（1）由已知可得：由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，则$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{2}{3}$①，
由点M（$\sqrt{3}$，$\sqrt{2}$）在椭圆上，$\frac{3}{{a}^{2}}+\frac{2}{{b}^{2}}=1$②，解得：a²=6，b²=4，
∴椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$； （4分）
（2）①当直线l的斜率不存在时，l的方程为：x=3与椭圆无交点．
故直线l的斜率存在，设其方程为：y=k（x-3），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-3）}\\{\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，整理得：（3k²+2）x²-18k²x+27k²-12=0，
∵△=（18k²）²-4（3k²+2）（27k²-12）＞0，解得：k²＜$\frac{4}{3}$，
x₁+x₂=$\frac{18{k}^{2}}{3{k}^{2}+2}$，x₁x₂=$\frac{27{k}^{2}-12}{3{k}^{2}+2}$，（6分）
∵$\overrightarrow{PA}$=（x₁-3，y₁），$\overrightarrow{PB}$=（x₂-3，y₂）
∴$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=（x₁-3）（x₂-3）+y₁y₂=（x₁-3）（x₂-3）+k²（x₁-3）（x₂-3），
=（k²+1）[x₁x₂-3（x₁+x₂）+9]
=（k²+1）（ $\frac{27{k}^{2}-12}{3{k}^{2}+2}$-$\frac{54{k}^{2}}{3{k}^{2}+2}$+9）=$\frac{6{k}^{2}+6}{3{k}^{2}+2}$
=2+$\frac{2}{3{k}^{2}+2}$，（10分）
∵0≤k²≤$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{1}{6}$＜$\frac{1}{3{k}^{2}+2}$≤$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{7}{3}$＜2+$\frac{2}{3{k}^{2}+2}$≤3，
∴$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$∈（$\frac{7}{3}$，3]．（12分）

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．