Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥AD，AD=

1

2

BC=

3

，PC=

5

，AD∥BC，AB=AC，∠BAD=150°，∠PDA=30°．
（1）求证：PA⊥平面ABCD；
（2）在线段PD上是否存在一点F，使直线CF与平面PBC成角正弦值等于

1

4

？若存在，指出F点位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面所成的角

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）取线段BC中点E，连结AE．由已知条件推导出AE⊥BC，PA⊥AC．由此能证明PA⊥平面ABCD．
（2）以A为坐标原点，以AE，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点F是线段PD的中点，使直线CF与平面PBC成角正弦值等于

1

4

．

解答： （1）证明：取线段BC中点E，连结AE．
因为AD=

3

，∠PDA=30°，所以PA=1．
因为AD∥BC，∠BAD=150°所以∠B=30°．
又因为AB=AC，所以AE⊥BC，而BC=2

3

，
所以AC=AB=

BE

cos30°

=2．
因为PC=

5

，所以PC²=PA²+AC²，即PA⊥AC．
因为PA⊥AD，且AD，AC?平面ABCD，AD∩AC=A，
所以PA⊥平面ABCD．
（2）解：以A为坐标原点，以AE，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系如图所示，
则P（0，0，1），B(1，-

3

，0)，
C(1，

3

，0)，D(0，

3

，0)．
设F（x₁，y₁，z₁），因为点F在线段PD上，
设

PF

=λ

PD

，则

x1=0 y1= 3 λ z1=1-λ

（0＜λ≤1）．
即F(0，

3

λ，1-λ)，
所以

FC

=(1，

3

-

3

λ，λ-1)．
设平面PBC的法向量为

u

=(x，y，z)，
则

u

•

PB

=0，

u

•

BC

=0，所以

x- 3 y-z=0 2 3 y=0

，
所以

u

=(1，0，1)．
因为直线CF与平面PBC成角正弦值等于

1

4

，
所以

| FC • u |

| FC |×| u |

=

1

4

．
所以

|λ|

2 × 1+4(λ-1)2

=

1

4

，即λ=

1

2

．
所以点F是线段PD的中点．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查满足条件的点的位置关系的判定，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．