Question

在正项数列{a_n}中，a₁=1，a₅=16，对于任意的n∈N^*，函数f（x）=a_n+1²x-a_na_n+2（cosx+sinx），满足f′（0）=0．
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）设b_n=

2n-1

n(n+2)an

，数列{b_n}的前n项和为S_n，求证：S_n＜

3

4

．

Answer 1

考点：数列的求和,数列与函数的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）求函数的导数，根据条件推导出数列{a_n}为等比数列，即可求数列{a_n}的通项公式．
（2）求出b_n=

2n-1

n(n+2)an

的通项公式，利用裂项法求出数列{b_n}的前n项和为S_n，即可证明不等式S_n＜

3

4

．

解答： 解：（1）∵f（x）=a_n+1²x-a_na_n+2（cosx+sinx），
∴f′（x）=a_n+1²-a_na_n+2（-sinx+cosx），
由f′（0）=0，得a_n+1²=a_na_n+2，又a_n＞0，
故数列{a_n}为等比数列，且公比q＞0．…..（3分）
由a₁=1，a₅=16，得q⁴=16，q=2，
∴通项公式为a_n=2^n-1．
（2）∵b_n=

2n-1

n(n+2)an

=

2n-1

n(n+2)2n-1

=

1

n(n+2)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

），
∴数列{b_n}的前n项和为S_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n-1

-

1

n+1

+

1

n

-

1

n+2

）
=

1

2

（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）=

3

4

-

1

n+1

-

1

n+2

＜

3

4

．
即S_n＜

3

4

成立．

点评：本题主要考查数列的通项公式以及数列求和，利用裂项法是解决本题的关键．