Question

已知函数f（x）=2ax-

1

x2

，x∈（0，1]，求f（x）在区间（0，1]上的最大值．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：综合题,导数的综合应用

分析：求导数，分类讨论，确定函数的单调性，即可求f（x）在区间（0，1]上的最大值．

解答： 解：∵函数f（x）=2ax-

1

x2

，∴f′（x）=2a+

2

x3

当a≥-1时，f（x）在（0，1]上为增函数，∴[f（x）]_max=f（1）=2a-1．
当a＜-1时，令f′（x）=0得x=

1

3 -a

∵0＜

1

3 -a

＜1，∴0＜x＜

1

3 -a

时，f′（x）＞0；

1

3 -a

＜x≤1时，f′（x）＜0．∴f（x）在（0，

1

3 -a

）上是增函数，在（

1

3 -a

，1]减函数．
∴[f（x）]_max=f（

1

3 -a

）=-3

3	a2

．

点评：本题考查函数的最值及其几何意义，考查函数的单调性，正确分类是关键．