Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥BC，AB∥CD，AB=2BC=2CD=2，点E为PA中点．
（1）求证：DE∥平面PBC；
（2）求证：平面PBC⊥平面PAB；
（3）若直线PD与平面ABCD所成角的余弦值为

3

3

，求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）取PB中点F，连结EF，CF，由已知条件推导出四边形EFCD是平行四边形，由此能证明DE∥平面PBC．
（2）由线面垂直得PA⊥BC，再由AB⊥BC，得BC⊥平面PAB，由此能证明平面PBC⊥平面PAB．
（3）以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，过B平行于AP的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值．

解答： （1）证明：取PB中点F，连结EF，CF，
∵E是PA中点，∴EF

∥

.

1

2

AB，
∵AB∥CD，AB=2BC=2CD=2，
∴EF

∥

.

CD，∴四边形EFCD是平行四边形，
∴DE∥CF，
∵DE不包含于平面PBC，CF?平面PBC，
∴DE∥平面PBC．
（2）证明：∵PA⊥底面ABCD，BC?底面ABCD，
∴PA⊥BC，
∵AB⊥BC，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，
∵BC?平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAB．
（3）解：以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，过B平行于AP的直线为z轴，
建立空间直角坐标系，
由题意知C（1，0，0），D（1，1，0），
∵直线PD与平面ABCD所成角的余弦值为

3

3

，
设P（0，0，t），

PD

=(1，1，-t)，平面ABCD的法向量

z

=(0，0，1)，
∴|cos＜

PD

，

z

＞|=

t

2+t2

=

1-( 3 3 )2

=

6

3

，解得t=2或t=-2（舍），
∴

PD

=(1，1，-2)，

PC

=(1，0，-2)，
设平面PCD的法向量

n

=(x，y，z)，
则

PD • n =x+y-2z=0 PC • n =x-2z=0

，取z=1，得

n

=（2，0，1），
∵平面PAB的法向量

m

=(1，0，0)，
∴cos＜

n

，

m

＞=

1

6

=

6

6

．
∴平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值为

6

6

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．