Question

设函数f（x）=a^x+b^x-c^x，其中c＞a＞0，c＞b＞0．
（1）记集合M={（a，b，c）|a，b，c不能构成一个三角形的三边长，且a=b}，则（a，b，c）∈M所对应的f（x）的零点的取值集合为

 

；
（2）若a，b，c是△ABC的三边长，则下列结论正确的是

 

（写出所有正确结论的序号）．
①对于区间（-∞，1）内的任意x，总有f（x）＞0成立；
②存在实数x，使得a^x，b^x，c^x不能同时成为任意一个三角形的三条边长；
③若

CA

•

CB

＜0，则存在实数x∈（1，2），使f（x）=0．（提示：

AB

=

CB

-

CA

）

Answer 1

考点：指数函数单调性的应用

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）由集合M中的元素满足的条件，得到c≥a+b=2a，求得

c

a

的范围，解出函数f（x）=a^x+b^x-c^x的零点，利用不等式可得零点x的取值集合；
（2）对于①，把函数式f（x）=a^x+b^x-c^x变形为，利用指数函数的单调性即可证得结论成立；对于②，利用取特值法说明命题是正确的；对于③，由

CA

•

CB

＜0，知角C为钝角，说明f（2）＜0，又f（1）＞0，由零点的存在性定理可得命题③正确．

解答： 解：（1）∵c＞a，由c≥a+b=2a，∴

c

a

≥2，则ln

c

a

≥ln2＞0，
令f（x）=a^x+b^x-c^x=2a^x-c^x=c^x[2(

a

c

)x-1]=0，得(

c

a

)x=2，
∴x=

ln2

ln c a

≤

ln2

ln2

=1，0＜x≤1，
故答案为：{x|0＜x≤1}；
（2）∵f（x）=a^x+b^x-c^x=c^x[(

a

c

)x+(

b

c

)x-1]，
又

a

c

＜1，

b

c

＜1，∴对x∈（-∞，1），(

a

c

)x+(

b

c

)x-1＞(

a

c

)1+(

b

c

)1-1=

a+b-c

c

＞0，
故命题①正确；
令x=-1，a=2，b=4，c=5．则a^x=

1

2

，b^x=

1

4

，c^x=

1

5

，不能构成一个三角形的三条边长．
故命题②正确；
若

CA

•

CB

＜0，则角C为钝角，且a²+b²-c²＜0．
f（1）=a+b-c＞0，f（2）=a²+b²-c²＜0，
∴?x∈（1，2），使f（x）=0．
∴命题③正确．
故答案为①②③．

点评：本题考查了命题真假的判断与应用，考查了函数零点的判断方法，训练了特值化思想方法，解答此题的关键是对题意的正确理解，此题是中档题．