Question

13．已知函数f（x）=x²+bx-alnx．
（1）当函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y+5x-5=0，求函数f（x）的解析式；
（2）当a=1时，函数f（x）=x²+bx-alnx在（1，2）上单调递减，试求b的取值范围；
（3）在（1）的条件下，若x₀是函数f（x）的零点，且x₀∈（n，n+1），n∈N^*，求n的值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，得到关于a，b的方程，求出a，b的值，从而求出函数的解析式；
（2）将a=1代入f（x），求出函数的导数，结合二次函数的性质求出b的范围即可；
（3）求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出对应的函数值，从而求出n的值即可．

解答 解：（1）$f'（x）=2x+b-\frac{a}{x}$，所以$\left\{{\begin{array}{l}{f'（1）=2+b-a=-5}\\{f（1）=1+b=0}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{b=-1}\\{a=6}\end{array}}\right.$，
∴函数f（x）的解析式为f（x）=x²-x-6lnx（x＞0）；…（3分）
（2）当a=1时，$f（x）={x^2}+bx-lnx，f'（x）=2x+b-\frac{1}{x}=\frac{{2{x^2}+bx-1}}{x}$，
只考虑分子即可，设F（x）=2x²+bx-1，
可知$\left\{{\begin{array}{l}{F（1）=2+b-1≤0}\\{F（2）=2×{2^2}+2b-1≤0}\end{array}⇒b≤-\frac{7}{2}}\right.$，
故b的取值范围为$（{-∞，-\frac{7}{2}}]$…（6分）
（3）$f（x）={x^2}-x-6lnx⇒f'（x）=2x-1-\frac{6}{x}=\frac{{2{x^2}-x-6}}{x}$，
因为函数f（x）的定义域为x＞0，
$f'（x）=\frac{{（{2x+3}）（{x-2}）}}{x}=0⇒x=-\frac{3}{2}或x=2$，
当x∈（0，2）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（2，+∞）时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增，
且函数f（x）至少有两个零点，
其中f（1）=0，不符合要求，
f（3）=6（1-ln3）＜0，$f（4）=6（{2-ln4}）=6ln\frac{e^2}{4}＞0$，
∴x₀∈（3，4），故n=3…（12分）

点评 本题考查了曲线的切线方程问题，考查函数的单调性问题，考查导数的应用以及函数的零点问题，是一道综合题．