Question

5．如图，已知在多面体ABCDEF中，ABCD为正方形，EF∥平面ABCD，M为FC的中点，AB=2，EF到平面ABCD的距离为2，FC=2．
（1）证明：AF∥平面MBD；
（2）若EF=1，求V_F-MBE．

Answer 1

分析 （1）根据线面平行的判定定理，即可证明AF∥平面MBD；
（2）若EF=1，证明EF⊥平面FBC即EF是三棱锥的高，结合三棱锥的体积公式即可求V_F-MBE．

解答 解：（1）证明：连接AC，设AC与BD交于O点，在正方形ABCD中，O为AC的中点．
∵M是FC的中点，
∴OM∥AF，
∵AF?平面MBD，OM?平面MBD，
∴AF∥平面MBD．
（2）∵EF∥平面ABCD，FC=2，EF到平面ABCD的距离为2，
∴FC⊥平面ABCD，平面FBC⊥平面ABCD，
∵四边形ABCD为正方形，则AB⊥平面FBC，
∵EF∥平面ABCD，
∴EF∥AB，∴EF⊥平面FBC．
${V_{F-MNE}}={V_{E-FNM}}=\frac{1}{3}EF•{S_{△FNM}}=\frac{1}{3}×1×\frac{1}{2}×2×2=\frac{2}{3}$．

点评 本题主要考查线面平行的判定以及三棱锥体积的计算，根据相应的判定定理以及三棱锥的体积公式是解决本题的关键．