题目内容
3．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3-4x}{2x-1}，x∈[0，\frac{1}{4}]}\\{\frac{1}{2}lo{g}_{2}x-3，x∈（\frac{1}{4}，1]}\end{array}\right.$，g（x）=x3-3ax2-2a（a≥1），若对于任意x1∈[0，1]总存在x2∈[0，1]，使得g（x2）=f（x1）成立，则a的取值范围是（ ）| A． | （1，$\frac{3}{2}$） | B． | （1，$\frac{3}{2}$] | C． | [1，$\frac{3}{2}$） | D． | [1，$\frac{3}{2}$] |
分析 根据分式函数和对数函数的单调性的性质求出函数f（x）的取值范围，求函数g（x）的导数g′（x），判断函数g（x）在[0，1]上的单调性，根据条件对于任意x1∈[0，1]总存在x2∈[0，1]，使得g（x2）=f（x1）成立，进行转化求解即可．
解答 解：当0≤x≤$\frac{1}{4}$时，f（x）=$\frac{3-4x}{2x-1}$=$\frac{-4x+2+1}{2x-1}$=-2+$\frac{1}{2x-1}$∈[-4，-3]，
当$\frac{1}{4}$＜x≤1时，f（x）=$\frac{1}{2}$log2x-3∈（-4，-3]，
综上当x∈[0，1]时f（x）∈[-4，-3]，
g（x）的导数g′（x）=3x2-6ax=3x（x-2a），
由g′（x）=0得x=0或x=2a，
∵a≥1，∴2a≥2，
则当0≤x≤1时，]，g′（x）≤0；
故g（x）=x3-3a2x-2a在[0，1]上是减函数，
则g（0）=-2a，g（1）=1-3a2-2a，
即-3a2-2a+1≤g（x）≤-2a
又∵f（x）的值域为[-4，-3]；
若对于任意x1∈[0，1]总存在x2∈[0，1]，使得g（x2）=f（x1）成立，
∴g（1）≤-4且g（0）≥-3；
即$\left\{\begin{array}{l}{-3{a}^{2}-2a+1≤-4}\\{-2a≥-3}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{3{a}^{2}+2a-5≥0}\\{a≤\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
得$\left\{\begin{array}{l}{a≥1或a≤-\frac{5}{3}}\\{a≤\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，得1≤a≤$\frac{3}{2}$，
即实数a的取值范围是[1，$\frac{3}{2}$]，
故选：D
点评 本题主要考查函数恒成立问题以及函数值域的求法，根据分段函数的表达式求出函数的值域以及利用导数研究函数的单调性和最值是解决本题的关键．考查学生的转化能力．
| 高血压 | 非高血压 | 总计 | |
| 年龄20到39岁 | 12 | c | 100 |
| 年龄40到60岁 | b | 52 | 100 |
| 总计 | 60 | a | 200 |
（2）现从这60名高血压患者中按年龄采用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求恰好一名患者年龄在20到39岁的概率．
附参考公式及参考数据：K2=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$
| P（k2≥k0） | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 |
| k0 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AC=1，BC=$\sqrt{2}$，AB=$\sqrt{3}$，M是棱B1C1的中点，N是对角线AB1的中点．
如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，B为切点，OC平行于弦AD，连接CD．| A． | $-\frac{7}{8}$ | B． | $\frac{7}{8}$ | C． | $\frac{7}{8}$或$-\frac{7}{8}$ | D． | $\frac{{\sqrt{15}}}{4}$ |