Question

18．已知f（x）=2cos（2x+φ），满足f（x+φ）=f（x+4φ），则f（x）在[${\frac{π}{2}$，π]上的单调递增区间为（　　）

• A． [${\frac{π}{2}$，$\frac{2π}{3}}$]
• B． [${\frac{π}{2}$，$\frac{5π}{6}}$]
• C． [${\frac{2π}{3}$，$\frac{5π}{6}}$]
• D． [${\frac{5π}{6}$，π]

Answer 1

分析 根据余弦函数的周期性求出φ的值，再利用余弦函数的单调性即可求出f（x）在[${\frac{π}{2}$，π]上的单调递增区间．

解答 解：由f（x+φ）=f（x+4φ），
得周期T=3φ=π，解得φ=$\frac{π}{3}$，
所以$f（x）=2cos（{2x+\frac{π}{3}}）$；
又当x∈[${\frac{π}{2}$，π]时，2x∈[π，2π]，
所以2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{4π}{3}$，$\frac{7π}{3}$]；
又余弦函数在[π，2π]上的单调递增，
所以$2x+\frac{π}{3}∈[{\frac{4π}{3}，2π}]$，
解得$x∈[{\frac{π}{2}，\frac{5π}{6}}]$，
所以f（x）在[${\frac{π}{2}$，π]上的单调递增区间为[$\frac{π}{2}$，$\frac{5π}{6}$]．
故选：B．

点评 本题考查了余弦函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．