已知函数f(x)=$\frac{x^2}{2}$+mlnx.g(x)=$\frac{x^2}{2}$-x.p(x)=mx2．在公共定义域上具有相同的单调性.求实数m的值,.m1(x).m2(x)在公共定义域内满足m1＞m2为从m1(x)至m2(x)的“过渡函数 ,①在至g(x)是否存在无穷多个“过渡函数 .并说明理由,②是否存在非零实数m.使得f的“过渡� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

2．已知函数f（x）=$\frac{x^2}{2}$+mlnx，g（x）=$\frac{x^2}{2}$-x，p（x）=mx²．
（1）若函数f（x）与g（x）在公共定义域上具有相同的单调性，求实数m的值；
（2）若函数m（x），m₁（x），m₂（x）在公共定义域内满足m₁（x）＞m（x）＞m₂（x）恒成立，则称m（x）为从m₁（x）至m₂（x）的“过渡函数”；
①在（1）的条件下，探究从f（x）至g（x）是否存在无穷多个“过渡函数”，并说明理由；
②是否存在非零实数m，使得f（x）是从p（x）至g（x）的“过渡函数”．若存在，求出非零实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．

分析（1）求出函数的定义域，根据题意得到x=1是f（x）的极值点，求出m的值检验即可；
（2）①令F（x）=f（x）-g（x），根据函数的单调性求出F（x）的最小值，结合新定义判断即可；
②假设存在实数m，使得f（x）是从p（x）至g（x）的“过渡函数”，得到$m{x^2}＞\frac{x^2}{2}+mlnx＞\frac{x^2}{2}-x$在（0，+∞）上恒成立；令H（x）=f（x）-g（x）=mlnx+x，x∈（0，+∞），通过讨论m的范围，结合函数的单调性判断即可．

解答解：（1）易知f（x）与g（x）的公共定义域为（0，+∞），
且$g（x）=\frac{x^2}{2}-x$在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
又$f'（x）=x+\frac{m}{x}$，故1+m=0，即m=-1；
经检验，当m=-1时，f（x）与g（x）的公共定义域上具有相同的单调性，
故所求实数m的值为-1．
（2）①$f（x）=\frac{x^2}{2}-lnx，g（x）=\frac{x^2}{2}-x$，公共定义域为（0，+∞），
令F（x）=f（x）-g（x）=x-lnx，x∈（0，+∞），
则$F'（x）=1-\frac{1}{x}$，故F（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
故F（x）_min=F（1）=1，故f（x）-g（x）≥1，即f（x）≥g（x）+1，
令h（x）=g（x）+t，t∈（0，1），
则f（x）＞h（x）＞g（x）在（0，+∞）上恒成立，
故存在无穷多个从f（x）至g（x）的“过渡函数”．
②假设存在实数m，使得f（x）是从p（x）至g（x）的“过渡函数”，
则$m{x^2}＞\frac{x^2}{2}+mlnx＞\frac{x^2}{2}-x$在（0，+∞）上恒成立；
令H（x）=f（x）-g（x）=mlnx+x，x∈（0，+∞），
则$H'（x）=\frac{m}{x}+1=\frac{m+x}{x}$．
（ I）当m＞0时，H'（x）＞0，
故H（x）在（0，+∞）上单调递增，且值域为R，
此时f（x）-g（x）＞0不恒成立，故m＞0与假设不符，舍去．
（Π）当m＜0时，令H'（x）=0，解得x=-m，
可知H（x）在（0，-m）上单调递减，在（-m，+∞）上单调递增，
故H（x）_min=H（-m）=mln（-m）-m，
依题意，mln（-m）-m＞0，解得m＞-e，
故-e＜m＜0，
∴当-e＜m＜0时，f（x）＞g（x）在（0，+∞）上恒成立，
令$G'（x）=p（x）-f（x）=（{m-\frac{1}{2}}）{x^2}-mlnx，x∈（{0，+∞}）$；
因为-e＜m＜0，故$m-\frac{1}{2}＜0$；
$G'（x）=（{2m-1}）x-\frac{m}{x}=\frac{{（{2m-1}）{x^2}-m}}{x}，x∈（{0，+∞}）$，
令G'（x）=0，故$x=\sqrt{\frac{m}{2m-1}}$，
易知G'（x）在$（{0，\sqrt{\frac{m}{2m-1}}}）$上单调递增，在$（{\sqrt{\frac{m}{2m-1}}，+∞}）$上单调递减，
当-e＜m＜0时，G'（x）＞0在（0，+∞）上不恒成立，
即p（x）＞f（x）在（0，+∞）上不恒成立．
综上可知，不存在非零实数m，使得f（x）是从p（x）至g（x）的“过渡函数”．