Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

2

2

，右焦点为F（1，0）．
（Ⅰ）求此椭圆的方程；
（Ⅱ）若过点F且倾斜角为

π

4

的直线与此椭圆相交于A，B两点，求|AB|的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）根据椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

2

2

，右焦点为F（1，0），求出a，b，即可求此椭圆的方程；
（Ⅱ）过点F且倾斜角为

π

4

的直线方程为y=x-1，与椭圆方程联立，利用弦长公式，即可求|AB|的值．

解答： 解：（Ⅰ）由题意

c

a

=

2

2

，c=1，得a=

2

，b=1，…（4分）
∴椭圆的方程为

x2

2

+y2=1…（6分）
（Ⅱ）过点F且倾斜角为

π

4

的直线方程为y=x-1．
由

x2 2 +y2=1 y=x-1

得3x²-4x=0，解得x1=0，x2=

4

3

…（10分）
故|AB|=

2

|x1-x2|=

4 2

3

．…（12分）

点评：本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查弦长公式，考查学生的计算能力，属于中档题．