题目内容
设函数f（x）的定义域为R，当x＜0时f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）．
（1）求f（0），判断并证明函数f（x）的单调性；
（2）数列{an}满足a1=f（0），且f(an+1)=
(n∈N*)．
①求{an}的通项公式；
②当a＞1时，不等式
+
+…+
＞
（loga+1x-logax+1）对不小于2的正整数恒成立，求x的取值范围．
（1）求f（0），判断并证明函数f（x）的单调性；
（2）数列{an}满足a1=f（0），且f(an+1)=
| 1 |
| f(-2-an) |
①求{an}的通项公式；
②当a＞1时，不等式
| 1 |
| an+1 |
| 1 |
| an+2 |
| 1 |
| a2n |
| 12 |
| 35 |
考点：数列与函数的综合,函数单调性的判断与证明,等差数列的通项公式,数列递推式
专题：压轴题,等差数列与等比数列
分析：（1）令x=-1，y=0，结合f（-1）＞1，可求f（0）；利用单调性的定义，可以证明f（x）在R上是减函数；
（2）①由f（x）单调性，可得an+1=an+2，故{an}等差数列，即可求{an}的通项公式；
②求出左边的最小值，可得
＞
(loga+1x-logax+1)，即loga+1x-logax+1＜1，从而可求x的取值范围．
（2）①由f（x）单调性，可得an+1=an+2，故{an}等差数列，即可求{an}的通项公式；
②求出左边的最小值，可得
| 12 |
| 35 |
| 12 |
| 35 |
解答：
解：（1）由x，y∈R，f（x+y）=f（x）•f（y），且x＜0时，f（x）＞1，
令x=-1，y=0，∴f（-1）=f（-1）f（0），
∵f（-1）＞1，
∴f（0）=1；
若x＞0，则f（x-x）=f（0）=f（x）f（-x）
∴f(x)=
∈(0，1)；
∴x∈R时，f（x）＞0，
任取x1＜x2，f（x2）=f（x1+x2-x1）=f（x1）f（x2-x1），
∵x2-x1＞0，
∴0＜f（x2-x1）＜1，
∴f（x2）＜f（x1）；
∴f（x）在R上是减函数．
（2）①a1=f(0)=1，f(an+1)=
=f(2+an)，
由f（x）单调性，可得an+1=an+2，
故{an}等差数列，∴an=2n-1，
②bn=
+
+…+
，则bn+1=
+
+…+
，
bn+1-bn=
+
-
=
+
-
=
＞0，{bn}是递增数列；
当n≥2时，{bn}min=b2=
+
=
+
=
，
∴
＞
(loga+1x-logax+1)，
即loga+1x-logax+1＜1，
∴loga+1x＜logax，
而a＞1，∴x＞1，
故x的取值范围（1，+∞）．
令x=-1，y=0，∴f（-1）=f（-1）f（0），
∵f（-1）＞1，
∴f（0）=1；
若x＞0，则f（x-x）=f（0）=f（x）f（-x）
∴f(x)=
| 1 |
| f(-x) |
∴x∈R时，f（x）＞0，
任取x1＜x2，f（x2）=f（x1+x2-x1）=f（x1）f（x2-x1），
∵x2-x1＞0，
∴0＜f（x2-x1）＜1，
∴f（x2）＜f（x1）；
∴f（x）在R上是减函数．
（2）①a1=f(0)=1，f(an+1)=
| 1 |
| f(-2-an) |
由f（x）单调性，可得an+1=an+2，
故{an}等差数列，∴an=2n-1，
②bn=
| 1 |
| an+1 |
| 1 |
| an+2 |
| 1 |
| a2n |
| 1 |
| an+2 |
| 1 |
| an+3 |
| 1 |
| a2n+2 |
bn+1-bn=
| 1 |
| a2n+1 |
| 1 |
| a2n+2 |
| 1 |
| an+1 |
=
| 1 |
| 4n+1 |
| 1 |
| 4n+3 |
| 1 |
| 2n+1 |
=
| 1 |
| (4n+1)(4n+3)(2n+1) |
当n≥2时，{bn}min=b2=
| 1 |
| a3 |
| 1 |
| a4 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 7 |
| 12 |
| 35 |
∴
| 12 |
| 35 |
| 12 |
| 35 |
即loga+1x-logax+1＜1，
∴loga+1x＜logax，
而a＞1，∴x＞1，
故x的取值范围（1，+∞）．
点评：本题考查数列与函数的综合，考查等差数列的定义与通项，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于难题．
练习册系列答案
相关题目
下列函数中，以
为最小正周期的是（ ）
| π |
| 2 |
A、y=sin
| ||
| B、y=sinx | ||
| C、y=sin2x | ||
| D、y=sin4x |
从5名医生（3男2女）中随机等可能地选派两名医生，则恰选得一名男医生和一名女医生的概率为（ ）
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|
