Question

已知椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的两条渐近线为
l₁，l₂，过椭圆C的右焦点F作直线l，使l⊥l₁，又l与l₂交于P，设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A、B（如图）．
（1）当l₁与l₂的夹角为60°，且△POF的面积为

3

2

时，求椭圆C的方程；
（2）当

FA

=λ

AP

时，求当λ取到最大值时椭圆的离心率．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）l₁的斜率为-

b

a

，l₂的斜率为

b

a

，由l₁与l₂的夹角为60°，利用夹角公式，可得a=

3

b，利用△POF的面积为

3

2

，可得ab=

3

，从而可求a，b，即可求椭圆C的方程；
（2）当

FA

=λ

AP

时，求出A的坐标，代入椭圆方程，即可求当λ取到最大值时椭圆的离心率．

解答： 解：（1）l₁的斜率为-

b

a

，l₂的斜率为

b

a

，由l₁与l₂的夹角为60°，
得|

b a + b a

1-( b a )2

|=

3

，整理，得a=

3

b．           ①
由

y= b a x y= a b (x-c).

，得P(

a2

c

，

ab

c

)．
由S△POF=

3

2

，得

1

2

•c•

ab

c

=

3

2

．
∴ab=

3

．               ②
由①②，解得a=

3

，b=1．
∴椭圆C方程为：

x2

3

+y2=1．
（2）由P(

a2

c

，

ab

c

)，F（c，0）及

FA

=λ

AP

，得A(

c+ λa2 c

1+λ

，

λab c

1+λ

)．
将A点坐标代入椭圆方程，得

(c+ λa2 c )2

(1+λ)2

+

( λab c )2

(1+λ)2

=1．
整理，得λ2=

e2(1-e2)

2-e2

=-[(2-e2)+

2

2-e2

]+3≤3-2

2

，
∴λ的最大值为

2

-1，此时e=

2- 2

．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查三角形面积的计算，考查向量知识的运用，考查基本不等式，属于中档题．