Question

对于函数f（x），若存在x₀∈R，使得f（x₀）=x₀成立，则称x₀为f（x）的不动点．已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0），满足

f(0)≥1 f(1+sinα)≤1(α∈R)

，且f（x）有两个不动点x₁，x₂，记函数f（x）的对称轴为x=x₀，求证：如果x₁＜2＜x₂＜4，那么x₀＞-1．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：由已知求出c=1后，进而根据有x₁＜2＜x₂＜4转化为g（x）=f（x）-x=0有两根：一根在2与4之间，另一根在2的左边，利用一元二次方程根的分布可证．

解答： 证明：二次函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0），满足

f(0)≥1 f(1+sinα)≤1(α∈R)

，
∴

f(0)≥1 f(0)≤1

，即f（0）=1，
∴f（x）=ax²+bx+1，
设g（x）=f（x）-x=ax²+（b-1）x+1，
∵a＞0，
∴由条件x₁＜2＜x₂＜4，
得g（2）＜0，g（4）＞0．
即

4a+2b-1＜0 16a+4b-3＞0

，

由可行域可得

b

a

＜2，
∴x₀=-

b

2a

＞-1．

点评：考查学生方程与函数综合运用的能力，分类讨论的数学思想，以及灵活运用不等式解决数学问题的能力．