Question

设函数f（x）=x²-ax+b，a，b∈R．
（1）已知f（x）在区间（-∞，1）上单调递减，求a的取值范围；
（2）存在实数a，使得当x∈[0，b]时，2≤f（x）≤6恒成立，求b的最大值及此时a的值．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用对称轴和单调区间的关系，即可求a的取值范围；
（2）根据不等式恒成立，转化为求相应的最值即可．

解答： 解：（1）∵函数的对称轴为x=

a

2

，
∴要使f（x）在区间（-∞，1）上单调递减，则满足对称轴x=

a

2

≥1，即a≥2．
（2）∵当x∈[0，b]时，2≤f（x）≤6恒成立，
∴b＞0，
①若a≤0，则

a

2

≤1，此时f（x）在[0，b]上单调递增，
∴

f(x)min=f(0)≥2 f(x) max=f(b)≤6

，即

b≥2 b2-ab+b≤6

，
由b²-ab+b≤6得a≥b-

6

b

+1≥2-

6

2

+1=0，
∴a=0，此时

b≥2 b2+b≤6

，
解得

a=0 b=2

．
②若0＜

a

2

＜

b

2

，即0＜a＜b，此时

f(x)min=f( a 2 )≥2 f(x)max=f(b)≤6

，
即

b- a2 4 ≥2 b2-ab+b≤6 0＜a＜b

，∴

b≥ a2 4 +2 a≥b- 6 b +1 0＜a＜b

，即

b≥2 b- 6 b +1＜b

，
∴2＜b＜6，
又b-

a2

4

≥2，则a≤2

b-2

，
∴b-

6

b

+1≤2

b-2

，
令h（x）=x-

6

x

+1，g（x）=2

x-2

，
∴h（2）=g（2）=0，h（3）=g（3）=2，且h（x）与g（x）均在（2，6）上单调递增，
当2＜x＜3时，h（x）的图象在g（x）图象的下方，即此时h（x）＜g（x），
∴不等式b-

6

b

+1≤2

b-2

的解为2＜b≤3，
当b=3时，

3- a2 4 ≥2 32-3a+3≤6 0＜a＜3

，即

a≤2 a≥2 0＜a＜3

，解得a=2．
③若0＜

a

2

=

b

2

，即0＜a=b，此时

f(x)min=f( a 2 )≥2 f(x)max=f(0)≤6

，
即

b- a2 4 ≥2 b≤6 0＜a＜3

，此时不等式无解．
④若0＜

b

2

＜

a

2

＜b，即0＜b＜a＜2b，此时

f(x)min=f( a 2 )≥2 f(x)max=f(0)≤6

，即

b- a2 4 ≥2 b≤6

，

即

b≥ a2 4 +2 b≤6 b＜a

，∴

a2

4

+2＜a，a²-4a+8＜0此时不等式无解．
⑤若

a

2

≥b，即a≥2b，此时f（x）在[0，b]上单调递减，
∴

f(x)min=f(b)≥2 f(x)max=f(0)≤6

，即

b2-ab+b≥2 b≤6 a≥2b

，即

a≤b- 2 b +1 b≤6 a≥2b

，
∴2b≤b-

2

b

+1，
即b+

2

b

≤1，而当b＞0时，b+

2

b

≥2

2

＞1，∴此时不等式无解．
综上b的取值范围是[2，3]，b的最大值是3，此时a=2．

点评：本题主要考查二次函数的图象和性质，综合性较强，运算量较大，难度不小．