Question

【理科】抛物线顶点在原点，焦点是圆x²+y²-4x=0的圆心．
（1）求抛物线的方程；
（2）直线l的斜率为2，且过抛物线的焦点，与抛物线交于A、B两点，求弦AB的长；
（3）过点P（1，1）引抛物线的一条弦，使它被点P平分，求这条弦所在的直线方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）圆的方程可化为：（x-2）²+y²=4，求出圆心坐标，可得抛物线的方程；
（2）直线l方程为y=2（x-2），代入抛物线方程，利用韦达定理及弦长公式，可求弦AB的长；
（3）当l不垂直于x轴时，设l的方程为y-1=k（x-1）（k≠0），代入抛物线方程，利用韦达定理，结合中点坐标公式，即可求这条弦所在的直线方程．

解答： 解：（1）圆的方程可化为：（x-2）²+y²=4，圆心坐标为（2，0），
∴抛物线方程为y²=8x，…（4分）
（2）直线l方程为y=2（x-2），
由

y2=8x y=2(x-2)

得：x²-6x+4=0，
∴x₁+x₂=6，x₁x₂=4，
∴|AB|=

(1+22)(x1-x2)2

=

5[(x1+x2)2-4x1x2]

=10，…（8分）
（3）当抛物线过点P（1，1）的弦l⊥x轴时，其方程为x=1，不能被点P平分；
当l不垂直于x轴时，设l的方程为y-1=k（x-1）（k≠0），
由

y-1=k(x-1) y2=8x

得：ky²-8y+8（1-k）=0，（10分）
∴y1+y2=

8

k

，y1y2=

8(1-k)

k

；
由题意，

y1+y2

2

=1，即

4

k

=1⇒k=4．
∴所求直线方程为y-1=4（x-1），即4x-y-3=0．…（12分）

点评：本题考查圆的方程与抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，正确运用韦达定理是关键．