题目内容
如图所示，直立在地面上的两根钢管AB和CD，AB=10| 3 |
| 3 |
（1）如图（1）设两根钢管相距1m，在AB上取一点E，以C为支点将钢丝绳拉直并固定在地面的F处，形成一个直线型的加固（图中虚线所示）．则BE多长时钢丝绳最短？
（2）如图（2）设两根钢管相距3
| 3 |
考点：利用导数求闭区间上函数的最值,根据实际问题选择函数类型
专题：应用题,函数的性质及应用,导数的综合应用
分析：设钢丝绳长为ym，∠CFD=θ，
（1）y=
=
+
（其中0＜θ＜θ0，tanθ0=7），求导y′=
+
，由导数的正负确定函数的单调性，从而求最值；
（2）y=(
+
)(1+cosθ+sinθ)（其中0＜θ＜θ0，tanθ0=
=3），求导y′=(
+
)(1+sinθ+cosθ)+(
+
)(cosθ-sinθ)，由导数的正负确定函数的单调性，从而求最值．
（1）y=
| ||||
| cosθ |
3
| ||
| sinθ |
| 1 |
| cosθ |
-3
| ||
| sin2θ |
| sinθ |
| cos2θ |
（2）y=(
3
| ||
| sinθ |
3
| ||
| cosθ |
12
| ||||
3
|
-3
| ||
| sin2θ |
| sinθ |
| cos2θ |
3
| ||
| sinθ |
3
| ||
| cosθ |
解答：
解：（1）设钢丝绳长为ym，∠CFD=θ，则
y=
=
+
（其中0＜θ＜θ0，tanθ0=7），
y′=
+
，
易知y′=
+
为（0，θ0）上的增函数，
且当tanθ=
时，y′=0；
故y=
=
+
在（0，θ0）上先减后增，
故当tanθ=
时，即BE=4
时，ymin=8；
（2）设钢丝绳长为ym，∠CFD=θ，则
y=(
+
)(1+cosθ+sinθ)（其中0＜θ＜θ0，tanθ0=
=3），
y′=(
+
)(1+sinθ+cosθ)+(
+
)(cosθ-sinθ)，
令y'=0得sinθ=cosθ，
当θ=
时，即BE=6
时，
ymin=6
(
+2)；
答：按方法（1），BE=4
米时，钢丝绳最短；按方法（2），BE=6
米时，钢丝绳最短．
y=
| ||||
| cosθ |
3
| ||
| sinθ |
| 1 |
| cosθ |
y′=
-3
| ||
| sin2θ |
| sinθ |
| cos2θ |
易知y′=
-3
| ||
| sin2θ |
| sinθ |
| cos2θ |
且当tanθ=
| 3 |
故y=
| ||||
| cosθ |
3
| ||
| sinθ |
| 1 |
| cosθ |
故当tanθ=
| 3 |
| 3 |
（2）设钢丝绳长为ym，∠CFD=θ，则
y=(
3
| ||
| sinθ |
3
| ||
| cosθ |
12
| ||||
3
|
y′=(
-3
| ||
| sin2θ |
| sinθ |
| cos2θ |
3
| ||
| sinθ |
3
| ||
| cosθ |
令y'=0得sinθ=cosθ，
当θ=
| π |
| 4 |
| 3 |
ymin=6
| 3 |
| 2 |
答：按方法（1），BE=4
| 3 |
| 3 |
点评：本题考查了函数在实际问题中的应用，同时考查了导数的综合应用，属于中档题．
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