Question

已知二次函数y=x²+ax+a-2；
（1）求证：不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点；
（2）设a＜0，当此函数图象与x轴的两个交点的距离为

13

时，求出此二次函数的解析式；
（3）若此二次函数图象与x轴交于A，B两点，在函数图象上是否存在点P，使得△PAB的面积为

3 13

2

，若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）直接计算该函数对应的一元二次方程的判别式取值情况进行证明；
（2）依据两个交点的距离为

13

，建立等式求解a的值；
（3）首先，假设存在这样的点，然后，根据所给的条件进行求解即可．

解答： 解：（1）∵二次函数y=x²+ax+a-2；
∴一元二次方程x²+ax+a-2=0，
∵△=a²-4（a-2）=a²-4a+8
=（a-2）²+4＞0，
∴一元二次方程x²+ax+a-2=0有两个不等实根，
∴此函数图象与x轴总有两个交点，
（2）设函数图象与x轴的两个交点的横坐标分别为x₁，x₂，则
x²+ax+a-2=0，
x₁+x₂=-a，x₁x₂=a-2，
∵|x₁-x₂|=

13

，
∴

(x1+x2)2-4x1x2

=

13

，
∴

a2-4(a-2)

=

13

，
∴a=-1或a=5（舍去），
∴a=-1，
∴二次函数的解析式y=x²-x-3．
（3）假设存在这样的点P，满足给定的条件，
设点P（m，n），
∵|AB|=

13

，
∵S=

1

2

×|AB|•|n|=

3 13

2

，
∴|n|=3，
∴n=±3，
∴当n=3时，解得m=-2或m=3，
当n=-3时，解得m=0或m=1，
综上所述，存在这样的点，且P点坐标是（-2，3），（3，3），（0，-3）或（1，-3）．

点评：本题重点考查了二次函数的图象与性质、存在性问题的处理思路和方法，属于中档题．