Question

12．已知二次函数f（x）=ax²-4x+c，且 f （0）=-5，f （x）＜0的解集是（-1，5）．
（1）求 f （x）的解析式；
（2）求函数 f （x）在x∈[0，3]上的值域；
（3）设g（x）=f （x）-mx，且g（x）在区间[-2，2]上是单调函数，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据不等式的解集和方程的关系得出方程的跟，利用韦达定理求出函数的表达式；
（2）根据二次函数的图象和性质求解即可；
（3）根据题意可知对称轴不在区间内即可．

解答 解：（1）由f （x）＜0，得：ax²-4x+c＜0，不等式的解集是（-1，5），
故方程ax²-4x+c=0的两根是x=-1或x=5，
所以a=1，c=
所以f（x）=x²-4x-5，
（2）由（1）知，f（x）=x²-4x-5，
∵x∈[0，3]，f（x）在[0，2]上为减函数，在[2，3]上为增函数．
∴当x=2时，f（x）取得最小值为f（2）=-9．
而当x=0时，f（0）=-5，当x=3时，f（3）=-8
∴f（x）在[0，3]上取得最大值为-5
∴函数f（x）在x∈[0，3]上的值域为[-9，-5]．
（3）g（x）=x²-（m+4）x-5，依题意有$\frac{m+4}{2}≤-2或\frac{m+4}{2}≥2$，故m≤-8或m≥0
所以，m的取值范围是（-∞，-8]∪[0，+∞）．

点评 考出来不等式和方程的关系和二次函数的图象和性质，属于基础题型，应熟练掌握．