Question

2．函数f（x）=|cosx|（x≥0）的图象与过原点的直线恰有四个交点，设四个交点中横坐标最大值为θ，则$\frac{（1+{θ}^{2}）sin2θ}{θ}$=-2．

Answer 1

分析 依题意，过原点的直线与函数y=|cosx|（x≥0）在区间（$\frac{3π}{2}$，2π）内的图象相切，利用导数知识可求得切线方程，利用直线过原点，可求得θ=-$\frac{1}{tanθ}$，代入所求关系式即可求得答案

解答 解：∵函数f（x）=|cosx|（x≥0）的图象与过原点的直线恰有四个交点，
∴直线与函数y=|cosx|（x≥0）在区间（$\frac{3π}{2}$，2π）内的图象相切，
在区间（$\frac{3π}{2}$，2π）上，y的解析式为y=cosx，
故由题意切点坐标为（θ，cosθ），
∴切线斜率k=y′=-sinx|_x=θ=-sinθ，
∴由点斜式得切线方程为：
y-cosθ=-sinθ（x-θ），
∴y=-sinθx+θsinθ+cosθ，
∵直线过原点，
∴θsinθ+cosθ=0，得θ=-$\frac{1}{tanθ}$，
∴$\frac{（1+{θ}^{2}）sin2θ}{θ}$=$\frac{（1+\frac{1}{ta{n}^{2}θ}）sin2θ}{-\frac{1}{tanθ}}$=-（tanθ+$\frac{1}{tanθ}$）sin2θ=-（$\frac{sinθ}{cosθ}$+$\frac{cosθ}{sinθ}$）•2sinθcosθ=-2（sin²θ+cos²θ）=-2．
故答案为：-2．

点评 本题考查直线与余弦曲线的交点，考查导数的几何意义，直线的点斜式方程的应用，求得θ=-$\frac{1}{tanθ}$是关键，考查三角函数间的关系的综合应用，属于难题．