Question

14．已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点M（1，2），它们在x轴上有共同焦点，椭圆的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点．则椭圆的长轴长为2+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 设抛物线方程为y²=2px（p＞0），将M（1，2）代入方程解得p即可．由题意知椭圆的焦点为F₁（-1，0），F₂（1，0），可得c．对于椭圆，2a=|MF₁|+|MF₂|，可得结论．

解答 解：设抛物线方程为y²=2px（p＞0），将M（1，2）代入方程得p=2．
∴抛物线的方程为y²=4x．
由题意知椭圆的焦点为F₁（-1，0），F₂（1，0）．
∴c=1．
对于椭圆，2a=|MF₁|+|MF₂|=$\sqrt{（1+1）^{2}+{2}^{2}}$+$\sqrt{（1-1）^{2}+{2}^{2}}$=2+2$\sqrt{2}$．
故答案为：2+2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了抛物线及椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．