Question

17．过双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线y=-$\frac{b}{a}$x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若$\overrightarrow{FB}$=2$\overrightarrow{FA}$，则该双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2
• C． $\sqrt{5}$
• D． $\sqrt{7}$

Answer 1

分析 根据题意直线AB的方程为y=$\frac{a}{b}$（x-c）代入双曲线渐近线方程，求出A的坐标，进而求得B的表达式，代入双曲线方程整理求得a和c的关系式，进而求得离心率．

解答 解：设F（c，0），则直线AB的方程为y=$\frac{a}{b}$（x-c）代入双曲线渐近线方程y=-$\frac{b}{a}$x得A（$\frac{{a}^{2}}{c}$，-$\frac{ab}{c}$），
由$\overrightarrow{FB}$=2$\overrightarrow{FA}$，可得B（-$\frac{{c}^{2}+2{a}^{2}}{3c}$，-$\frac{2ab}{3c}$），
把B点坐标代入双曲线方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
即$\frac{（{c}^{2}+2{a}^{2}）^{2}}{9{c}^{2}{a}^{2}}-\frac{4{a}^{2}}{9{c}^{2}}$=1，整理可得c=$\sqrt{5}$a，
即离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$．
故选：C．

点评 本题主要考查了双曲线的简单性质．解题的关键是通过分析题设中的信息，找到双曲线方程中a和c的关系．