Question

11．若f（$\sqrt{x}$-1）=x+a．
（1）求函数f（x）的解析式及定义域；
（2）若f（x）＞0对任意的x≥0恒成立，求a取值范围．

Answer 1

分析 本题属函数章节的常规题型．第1题主要考察换元法求函数的解析式，故可令t=$\sqrt{x}$-1（t≥-1），求出x=（t+1）²．
第2题则利用一元二次函数的单调性结合给定定义域，求出函数f（x）的最小值即可．

解答 解：（1）令t=$\sqrt{x}$-1（t≥-1），则x=（t+1）²，
∴f（t）=（t+1）²+a （t≥-1）
∴函数f（x）的解析式为：f（x）=（x+1）²+a，定义域为[-1，+∞）．
（2）由f（x）=（x+1）²+a （x≥-1）知，f（x）在[-1，+∞）上单调递增，
所以对于任意的x≥0，函数f（x）在x=0处的取得最小值为f（0）=a+1．
要使得f（x）＞0恒成立，只需最小值f（0）＞0即可，∴a+1＞0⇒a＞-1
所以a的取值范围为a＞-1．

点评 利用换元法求函数解析式，利用函数单调性求函数的在给定区间上的最小值是高中阶段常用方法．