Question

16．已知曲线S：y=x³+4 及点A（1，5），则过点A 的曲线S 的切线方程为3x-y-2=0或3x-4y+17=0．

Answer 1

分析 根据所给的曲线的方程和曲线上一点，求过这一个点的切线的方程，首先对函数求导，求出函数在这一点的导数，即过这个点的切线的斜率，根据点斜式写出方程．

解答 解：∵y=x³+4，∴y′=3x²，
若点A（1，5）为切点，则k=3
∴切线的方程是y-5=3（x-1），
即3x-y-2=0．
若A不为切点，则设切点为（x₁，y₁），
则y₁=x₁³+4，3x₁²=$\frac{{y}_{1}-5}{{x}_{1}-1}$，
解得，x₁=-$\frac{1}{2}$，
∴切线方程为y-5=$\frac{3}{4}$（x-1）即3x-4y+17=0，
综上，过点A的切线方程为3x-y-2=0或3x-4y+17=0．
故答案为：3x-y-2=0或3x-4y+17=0．

点评 本题考查利用导数研究曲线上过一个点的方程，本题解题的关键是看清楚这个点是不是曲线上的点，适合不是的处理方法不同．