Question

6．函数f（x）上任意一点A（x₁，y₁）处的切线l₁，在其图象上总存在异与点A的点B（x₂，y₂），使得在B点处的切线l₂满足l₁∥l₂，则称函数具有“自平行性”．下列有关函数f（x）的命题：
①函数f（x）=sinx+1具有“自平行性”；
②函数f（x）=x³（-1≤x≤2）具有“自平行性”；
③函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}-1（x＜0）}\\{x+\frac{1}{x}（x＞m）}\end{array}\right.$具有“自平行性”的充要条件为实数m=1；
④奇函数y=f（x）（x≠0）不一定具有“自平行性”；
⑤偶函数y=f（x）具有“自平行性”．
其中所有叙述正确的命题的序号是（　　）

• A． ①③④
• B． ①④⑤
• C． ②③④
• D． ①②⑤

Answer 1

分析 根据已知中函数具有“自平行性”的定义，逐一分析5个函数是否具有“自平行性”，最后综合讨论结果，可得答案．

解答 解：函数f（x）具有“自平行性”，即对定义域内的任意自变量x₁，总存在x₂≠x₁，使得f′（x₁）=f′（x₂）．
对于①，f′（x）=cosx，具有周期性，必满足条件，故①正确；
对于②，f′（x）=3x²（-1≤x≤2），对任意x₁∈（1，2]，不存在x₂≠x₁，使得f′（x₁）=f′（x₂）成立，故②错误；
对于③，当x＜0时，f′（x）=e^x∈（0，1），而x＞m时，f′（x）=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$∈（0，1），解得x＜-1（舍去），或x＞1，则m=1，故③正确；
对于④，f（x）=x，（x≠0）不符合定义，故④正确；
对于⑤，同④，其导函数为奇函数，故⑤不正确．
故选：A．

点评 本题以命题的真假判断为载体，考查了函数具有“自平行性”的定义，正确理解函数具有“自平行性”的定义，是解答的关键．