Question

已知正项等比数列{a_n}满足：a₇=a₆+2a₅，若存在两项a_m，a_n，使得a_ma_n=16a₁²，则

1

m

+

4

n

的最小值为（　　）

• A、

  3

  2

• B、

  5

  3

• C、

  25

  6

• D、不存在

Answer 1

考点：基本不等式,等比数列的通项公式

专题：常规题型,高考数学专题

分析：应先从等比数列入手，利用通项公式求出公比q，然后代入到a_ma_n=16a₁²中，可得到关于m，n的关系式，再利用基本不等式的知识解决问题．

解答： 解：设正项等比数列{a_n}的公比为q，易知q≠1，由a₇=a₆+2a₅，得到a₆q=a₆+2

a6

q

，解得q=-1或q=2，
因为{a_n}是正项等比数列，所以q＞0，因此，q=-1舍弃．
所以，q=2
因为a_ma_n=16a₁²，所以a12m-1a12n-1=16a12，所以m+n=6，（m＞0，n＞0），
 
所以

1

m

+

4

n

=

1

6

(m+n)(

1

m

+

4

n

)=

1

6

(5+

n

m

+

4m

n

)≥

1

6

(5+2

n m × 4m n

)=

3

2

，
当且仅当

n

m

=

4m

n

，且m+n=6，即m=2，n=4时等号成立．
故选A

点评：对等比数列的考查一定要突出基本量思想，常规思路一般利用同项、求和公式，利用首项，公比表示已知，进一步推出我们需要的隐含条件或结论；基本不等式要重视其适用条件的判断，这里容易在取“=”时出错．