Question

1．设已知函数f（x）=|lnx|，正数a，b满足a＜b，且f（a）=f（b），若f（x）在区间[a²，b]上的最大值为2，则2a+b=$\frac{2}{e}$+e．

Answer 1

分析 由题意可知0＜a＜1＜b，以及ab=1，再f（x）在区间[a²，b]上的最大值为2可得出f（a²）=2求出a，故可得2a+b的值．

解答 解：由对数函数的性质知
∵f（x）=|lnx|正实数a、b满足a＜b，且f（a）=f（b），
∴0＜a＜1＜b，以及ab=1，
又函数在区间[a²，b]上的最大值为2，由于f（a）=f（b），f（a²）=2f（a）
故可得f（a²）=2，即|lna²|=2，即lna²=-2，即a²=$\frac{1}{{e}^{2}}$，可得a=$\frac{1}{e}$，b=e
则2a+b=$\frac{2}{e}$+e，
故答案为：$\frac{2}{e}$+e．

点评 本题考查对数函数的值域与最值，求解本题的关键是根据对数函数的性质判断出0＜a＜1＜b，以及ab=1及f（x）在区间[a²，b]上的最大值的位置．根据题设条件灵活判断对解题很重要．