Question

设二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0），且方程f（x）=x有两相等的实数根1．
（1）若f（0）=2，求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在[-2，2]的最小值（用a表示）．

Answer 1

考点：二次函数的性质,二次函数在闭区间上的最值

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由韦达定理得出方程组，解出a，b，c的值即可；（2）先找出函数的对称轴通过讨论a的取值范围综合得出结论．

解答： 解：（1）若方程f（x）=x有两相等的实数根1，
∴ax²+（b-1）x+c=0，
于是可得

1+1= 1-b a 1×1= c a

，
故

b=1-2a c=a

，
又f（0）=2，
故c=2，
∴a=2，b=-3
∴f（x）=2x²-3x+2．
（2）∵f（x）=ax²+（1-2a）x+a，
∴对称轴x=1-

1

2a

，
当a＜0时，二次函数的图象开口向下，
f（-2）=9a-2，f（2）=a+2，
f（-2）-f（2）=8a-4＜0，
∴f（x）_min=f（-2）=9a-2；
当a＞0时，1-

1

2a

＜2，
又∵二次函数的图象开口向上，
故当1-

1

2a

＜-2时，
即0＜a＜

1

6

时，f（x）在[-2，2]递增；
∴f（x）_min=f（-2）=9a-2，
当-2＜1-

1

2a

＜2，f（x）_min=f（1-

1

2a

）=1-

1

4a

，
综上所述∴f(x)min=

9a-2，a＜ 1 6 且a≠0 1- 1 4a ，a≥ 1 6

．

点评：本题考察了二次函数的性质问题，求函数的解析式问题，求函数在闭区间上的最值问题，渗透了分类讨论思想，是一道中档题．