Question

4．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，过左焦点且倾斜角为30°直线与右支交于点A，则双曲线离心率取值范围是（　　）

• A． $（{1，\frac{{2\sqrt{3}}}{3}}）$
• B． （1，2）
• C． $（{\frac{{2\sqrt{3}}}{3}，+∞}）$
• D． （2，+∞）

Answer 1

分析 过左焦点且倾斜角为30°直线与右支交于点A，即$\frac{b}{a}$＞tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即b＞$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，c＞$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，离心率公式e=$\frac{c}{a}$＞$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，求出离心率的范围，最后根据双曲线的离心率大于1，综合可得e的范围．

解答 解：过左焦点且倾斜角为30°直线与右支交于点A，即$\frac{b}{a}$＞tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴b＞$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，
∵b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$，
∴$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$＞$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，
整理得：c＞$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，
∴e=$\frac{c}{a}$＞$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴e的范围是（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，+∞）
故选C．

点评 本题考查双曲线的简单性质，考查直线与双曲线的位置关系，考查数形结合思想，属于中档题．