Question

16．如图，双曲线经过正六边形的四个顶点，且正六边形的另两个顶点A、B分别双曲线的两个焦点，则该双曲线的离心率为$\sqrt{3}+1$．

Answer 1

分析 设正六边形的边长为2，画出图象做出辅助线，由正六边形的性质、双曲线的定义求出a和c，即可求出该双曲线的离心率的值．

解答 解：设正六边形的边长为2，如图所示：
连接AB、AP、PB，
由正六边形的性质可得，AB=4，AP⊥BP，∠PAB=60°，
在RT△ABP中，PA=2，PB=2$\sqrt{3}$，
由双曲线的定义知，2c=AB=4，则C=2，
2a=PA+PB=2（1+$\sqrt{3}$），则a=1+$\sqrt{3}$，
所以该双曲线的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}+1$，
故答案为：$\sqrt{3}+1$．

点评 本题考查了双曲线的定义以及性质，正六边形的性质的应用，属于基础题．