Question

6．设x≥y＞0，若存在实数a，b满足0≤a≤x，0≤b≤y，且（x-a）²+（y-b）²=x²+b²=y²+a²．则$\frac{y}{x}$的最大值为（　　）

• A． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\frac{\sqrt{6}}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 不妨设定点O（0，0），M（0，y），P（a，0），Q（x，y-b），B（x，y），由（x-a）²+（y-b）²=x²+b²=y²+a²．得|PM|=|PQ|=|MQ|，可得：△MPQ是等边三角形．不妨设∠OMP=θ，$（0≤θ≤\frac{π}{6}）$，∠BMQ=$\frac{π}{6}$-θ，可得：$\frac{x}{y}$=$\frac{|BM|}{|OM|}$=$\frac{|BM|}{|MQ|}•\frac{|PM|}{|OM|}$=$\frac{cos（\frac{π}{6}-θ）}{cosθ}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{tanθ}{2}$，即可得出．

解答 解：不妨设定点O（0，0），M（0，y），P（a，0），Q（x，y-b），B（x，y），
由（x-a）²+（y-b）²=x²+b²=y²+a²．得|PM|=|PQ|=|MQ|，
∴△MPQ是等边三角形．
不妨设∠OMP=θ，$（0≤θ≤\frac{π}{6}）$，则∠BMQ=$\frac{π}{6}$-θ，
∴$\frac{x}{y}$=$\frac{|BM|}{|OM|}$=$\frac{|BM|}{|MQ|}•\frac{|PM|}{|OM|}$=$\frac{cos（\frac{π}{6}-θ）}{cosθ}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{tanθ}{2}$≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{tan\frac{π}{6}}{2}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
当且仅当θ=$\frac{π}{6}$时取等号．
故选：A．

点评 本题考查了等边三角形的性质、圆的方程、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．