Question

14．设a=${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$cosxdx，则（a$\sqrt{x}$+$\frac{1}{x}$）⁶展开式中的常数项为240．

Answer 1

分析 a=${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$cosxdx=$sinx{|}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$=2，再利用$（2\sqrt{x}+\frac{1}{x}）^{6}$的展开式中通项公式即可得出．

解答 解：a=${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$cosxdx=$sinx{|}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$=2，
则$（2\sqrt{x}+\frac{1}{x}）^{6}$的展开式中通项公式：T_r+1=${∁}_{6}^{r}（2\sqrt{x}）^{6-r}（\frac{1}{x}）^{r}$=2^6-r${∁}_{6}^{r}$${x}^{3-\frac{3r}{2}}$，
令3-$\frac{3r}{2}$=0，解得r=2．
∴常数项=${2}^{4}{∁}_{6}^{2}$=240．
故答案为：240．

点评 本题考查了微积分基本定理、二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．