题目内容
15．
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是边长为2的等边三角形，点A1在底面ABC上的投影D恰好为BC的中点，AA1与平面ABC所成角为45°，则该三棱柱的体积为（ ）| A． | 1 | B． | $\sqrt{2}$ | C． | 3 | D． | $\sqrt{10}$ |
分析 由已知可知，A1D为三棱柱的高，且求得${A}_{1}D=\sqrt{3}$，再求出底面三角形ABC的面积，则体积可求．
解答 解：如图，△ABC是边长为2的等边三角形．
∵D是点A1在底面ABC上的投影，∴A1D⊥底面ABC，
又D是BC中点，连接AD，则AD=$\sqrt{3}$，
又∵AA1与平面ABC所成角为45°，即∠A1AD=45°，
∴${A}_{1}D=AD=\sqrt{3}$，
∴${V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}=\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}×\sqrt{3}=3$．
故选：C．
点评 本题考查线面垂直的判定和性质，考查了空间想象能力和思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．
练习册系列答案
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