近年来.空气质量成为人们越来越关注的话题.空气质量指数(AirQualityIndex.简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数.空气质量按照AQI大小分为六级.0-50为优,51-100为良,101-150为轻度污染,151-200为中度污染,201-300为重度污染,大于300为严重污染．环保部门记录了2017年某月哈尔滨市10天� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

19．

近年来，空气质量成为人们越来越关注的话题，空气质量指数（AirQualityIndex，简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级，0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；大于300为严重污染．环保部门记录了2017年某月哈尔滨市10天的AQI的茎叶图如下：
（1）利用该样本估计该地本月空气质量优良（AQI≤100）的天数；（按这个月总共30天计算）
（2）现工作人员从这10天中空气质量为优良的日子里随机抽取2天进行某项研究，求抽取的2天中至少有一天空气质量是优的概率；
（3）将频率视为概率，从本月中随机抽取3天，记空气质量优良的天数为ξ，求ξ的概率分布列和数学期望．

分析（1）从茎叶图中可发现该样本中空气质量优的天数为2，空气质量良的天数为4，由此能估计该月空气质量优良的天数．
（2）利用对立事件概率计算公式能求出抽取的2天中至少有一天空气质量是优的概率．
（3）由（1）估计某天空气质量优良的概率为$\frac{3}{5}$，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，且ξ～B（3，$\frac{3}{5}$），由此能求出ξ的概率分布列和数学期望．

解答解：（1）从茎叶图中可发现该样本中空气质量优的天数为2，空气质量良的天数为4，
故该样本中空气质量优良的频率为$\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$，从而估计该月空气质量优良的天数为30×$\frac{3}{5}$=18
（2）现工作人员从这10天中空气质量为优良的日子里随机抽取2天进行某项研究，
基本事件总数n=${C}_{6}^{2}$=15，
抽取的2天中至少有一天空气质量是优的对立事件是抽取的2天中至少有一天空气质量都不是优，
∴抽取的2天中至少有一天空气质量是优的概率：
p=1-$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{3}{5}$．
（3）由（1）估计某天空气质量优良的概率为$\frac{3}{5}$，
∴ξ的所有可能取值为0，1，2，3，且ξ～B（3，$\frac{3}{5}$），
$P（ξ=0）={（\frac{2}{5}）^3}=\frac{8}{125}$，
P（ξ=1）=C₃¹$\frac{3}{5}{（\frac{2}{5}）^2}=\frac{36}{125}$，
$P（ξ=2）=C_3^2{（\frac{3}{5}）^2}\frac{2}{5}=\frac{54}{125}$，
$P（ξ=3）={（\frac{3}{5}）^3}=\frac{27}{125}$，
故ξ的分布列为：