Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．角A为锐角，且满足3b=5asinB．
（1）求sin2A+cos²

B+C

2

的值；
（2）若a=

2

，△ABC的面积为

3

2

，求b，c．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：解三角形

分析：（1）根据正弦定理将条件进行化简，得到sinA=

3

5

，然后利用倍角公式即可得到三角函数的值．
（2）根据三角形的面积公式，以及余弦定理，建立方程组解方程组即可得到结论．

解答： 解：（1）∵3b=5asinB．
∴由正弦定理可得3sinB=5sinAsinB．
∵sinB≠0，
∴sinA=

3

5

，
∵角A为锐角，
∴cosA=

4

5

．
则sin2A+cos²

B+C

2

=2sinAcosA+

1+cos(B+C)

2

═2sinAcosA+

1

2

-cosA=2×

3

5

×

4

5

+

1

2

-

1

2

×

4

5

=

53

50

．
（2）若a=

2

，△ABC的面积为

3

2

，
则

1

2

bcsinA=

1

2

bc×

3

5

=

3

2

，
即bc=5
由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA，
即2=b2+c2-2×5×

4

5

，
∴b²+c²=10，解得b=c=

5

．

点评：本题主要考查三角函数的化简与求值，利用正弦定理，余弦定理以及三角形的面积公式，建立方程组是解决本题的关键．