Question

如图，E是以AB为直径的半圆O上异于A、B的点，矩形ABCD所在的平面垂直于半圆O所在的平面，且AB=2AD=2a．
（Ⅰ）求证：EA⊥EC；
（Ⅱ）若异面直线AE和DC所成的角为

π

6

，求平面DCE与平面AEB所成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,异面直线及其所成的角

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）证明EA⊥EC，只需证明EA⊥平面EBC；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出E的坐标，可得平面DCE的一个法向量、平面AEB的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面DCE与平面AEB所成的锐二面角的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：∵平面ABCD垂直于圆O所在的平面，两平面的交线为AB，BC?平面ABCD，BC⊥AB，
∴BC垂直于圆O所在的平面．
又EA在圆O所在的平面内，
∴BC⊥EA．
∵∠AEB是直角，∴BE⊥EA，
∴EA⊥平面EBC，∴EA⊥EC．…（6分）
（Ⅱ）解：如图，以点O为坐标原点，AB所在的直线为y轴，过点O与BC平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系．
由异面直线AE和DC所成的角为

π

6

，AB∥DC知∠BAE=

π

6

，
∴∠BOE=

π

3

，
∴E（

3

2

a，

1

2

a，0），
由题设可知C（0，a，a），D（0，-a，a），
∴

DE

=（

3

2

a，

3

2

a，-a），

CE

=（

3

2

a，-

1

2

a，-a）．
设平面DCE的一个法向量为

m

=（x，y，z），则

3 2 ax+ 3 2 ay-az=0 3 2 ax- 1 2 ay-az=0

，
取

m

=（2，0，

3

）．
又平面AEB的一个法向量为

n

=（0，0，1），∴cos＜

m

，

n

＞=

3

7

=

21

7

．
平面DCE与平面AEB所成的锐二面角的余弦值

21

7

．…（13分）

点评：本题考查线面垂直，考查线面角，面面角，考查向量方法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．