题目内容
定义：如果数列{an}的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称{an}为“三角形”数列．对于“三角形”数列{an}，如果函数y=f（x）使得bn=f（an）仍为一个“三角形”数列，则称y=f（x）是数列{an}的“保三角形函数”，（n∈N*）．
（Ⅰ）已知数列{cn}的首项为2010，Sn是数列{cn}的前n项和，且满足4Sn+1-3Sn=8040，证明{cn}是“三角形”数列；
（Ⅱ）已知{an}是首项为2，公差为1的等差数列，若f（x）=kx，（k＞1）是数列{an}的“保三角形函数”，求k的取值范围．
（Ⅰ）已知数列{cn}的首项为2010，Sn是数列{cn}的前n项和，且满足4Sn+1-3Sn=8040，证明{cn}是“三角形”数列；
（Ⅱ）已知{an}是首项为2，公差为1的等差数列，若f（x）=kx，（k＞1）是数列{an}的“保三角形函数”，求k的取值范围．
考点：数列的应用
专题：综合题,等差数列与等比数列
分析：（Ⅰ）先利用条件求出数列{cn}的通项公式，再证明其满足“三角形”数列的定义即可；
（Ⅱ）先由条件得{an}是三角形数列，再利用f（x）=kx，（k＞1）是数列{an}的“保三角形函数”，得到kn+kn+1＞kn+2，解得k的取值范围．
（Ⅱ）先由条件得{an}是三角形数列，再利用f（x）=kx，（k＞1）是数列{an}的“保三角形函数”，得到kn+kn+1＞kn+2，解得k的取值范围．
解答：
证明：（Ⅰ）由4Sn+1-3Sn=8040得4Sn-3Sn-1=8040，两式相减得4cn+1-3cn=0
所以，cn=2010•(
)n-1，
经检验，此通项公式满足4Sn+1-3Sn=8040 （7分）
显然cn＞cn+1＞cn+2，因为cn+1+cn+2=2010•(
)n+2010(
)n+1=2010•(
)n-1＞cn，
所以{cn}是“三角形”数列；
（Ⅱ）显然an=n+1，an+an+1＞an+2对任意正整数都成立，
即{an}是三角形数列．（2分）
因为k＞1，显然有f（an）＜f（an+1）＜f（an+2），
由f（an）+f（an+1）＞f（an+2）得kn+kn+1＞kn+2，解得k＜
．
所以当k∈（1，
）时，f（x）=kx是数列{an}的“保三角形函数”．
所以，cn=2010•(
| 3 |
| 4 |
经检验，此通项公式满足4Sn+1-3Sn=8040 （7分）
显然cn＞cn+1＞cn+2，因为cn+1+cn+2=2010•(
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| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
所以{cn}是“三角形”数列；
（Ⅱ）显然an=n+1，an+an+1＞an+2对任意正整数都成立，
即{an}是三角形数列．（2分）
因为k＞1，显然有f（an）＜f（an+1）＜f（an+2），
由f（an）+f（an+1）＞f（an+2）得kn+kn+1＞kn+2，解得k＜
1+
| ||
| 2 |
所以当k∈（1，
1+
| ||
| 2 |
点评：本题是在新定义下对数列的综合考查．关于新定义的题型，在作题过程中一定要理解定义，并会用定义来解题．
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