题目内容

在“出彩中国人”的一期比赛中，有6位歌手（1～6）登台演出，由现场的百家大众媒体投票选出最受欢迎的出彩之星，各家媒体独立地在投票器上选出3位出彩候选人，其中媒体甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，另在2号至6号中随机的选2名；媒体乙不欣赏2号歌手，他必不选2号；媒体丙对6位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至6号歌手中随机的选出3名．
（Ⅰ）求媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率；
（Ⅱ）X表示3号歌手得到媒体甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望．
考点：离散型随机变量的期望与方差,离散型随机变量及其分布列
专题：概率与统计
分析：（Ⅰ）设A表示事件：“媒体甲选中3号歌手”，事件B表示“媒体乙选中3号歌手”，事件C表示“媒体丙选中3号歌手”，由等可能事件概率公式求出P（A），P（B），由此利用相互独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式能求出媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率．
（Ⅱ）先由等可能事件概率计算公式求出P（C），由已知得X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及数学期望．
解答： 解：（Ⅰ）设A表示事件：“媒体甲选中3号歌手”，
事件B表示“媒体乙选中3号歌手”，事件C表示“媒体丙选中3号歌手”，
P（A）=
C
1
4
C
2
5
=
2
5
，P（B）=
C
2
4
C
3
5
=
3
5
，
媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率：
P（A
.
B
）=P（A）（1-P（B））=
2
5
×(1-
3
5
)=
4
25
．
（Ⅱ）P（C）=
C
2
5
C
3
6
，由已知得X的可能取值为0，1，2，3，
P（X=0）=P（
.
A
.
B
.
C
）=（1-
2
5
）（1-
3
5
）（1-
1
2
）=
3
25
，
P（X=1）=P（A
.
B
.
C
）+P（
.
A
B
.
C
）+P（
.
A
.
B
C）
=
2
5
(1-
3
5
)(1-
1
2
)+（1-
2
5
）×
3
5
×(1-
1
2
)+(1-
2
5
)(1-
3
5
)×
1
2
=
19
50
，
P（X=2）=P（AB
.
C
）+P（A
.
B
C）+P（
.
A
BC）=
2
5
×
3
5
×(1-
1
2
)+
2
5
(1-
3
5
)×
1
2
+（1-
2
5
）×
3
5
×
1
2
=
19
50
，
P（X=3）=P（ABC）=
2
5
×
3
5
×
1
2
=
3
25
，
∴X的分布列为：
 X 0 1 23 
 P 
3
25
 
19
50
 
19
50
 
3
25
EX=0×
3
25
+1×
19
25
+2×
19
25
+3×
3
25
=
3
2
．
点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意可能事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式的合理运用．
练习册系列答案
相关题目
在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为(0，1)，(
2
，0)，(0，-2)，O为坐标原点，动点P满足|
CP
|=1，则|
OA
+
OB
+
OP
|的最小值是（　　）
A、4-2
3
B、
3
+1
C、
3
-1
D、
3
一排有6个座位，三个同学随机就坐，任何两人不相邻的坐法种数为（　　）
A、120B、36C、24D、72
在某学校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次，在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分，如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投三次，某同学在A处的命中率为p，在B处的命中率为q，该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用X表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为：
X02345
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已知向量
a
与
b
的夹角为60°，|
a
|=3，|
b
|=2，
c
=3
a
+5
b
，
d
=m
a
-
b
，
c
⊥
d
，求m的值．
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（1）作出函数f（x）的图象，并根据图象写出函数f（x）的单调区间，以及在各单调区间的奇偶性；
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数列{an}满足a1=1，an+1=
2n+1an
an+2n
（n∈N）．
（1）证明：数列{
2n
an
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当x＜0时，函数f（x）=（2a-1）x的值恒大于1，则实数a的取值范围是（　　）
A、（
1
2
，1）
B、（1，2）
C、（1，+∞）
D、（-∞，1）
已知x＞0，y＞0，且x+y=4，则使不等式
1
x
+
4
y
≥m恒成立的实数m的取值范围是（　　）
A、（-∞，
9
4
]
B、[
9
4
，+∞）
C、（-∞，
5
4
]
D、[
5
4
，+∞）

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