题目内容
数列{an}满足a1=1，an+1=
（n∈N）．
（1）证明：数列{
}是等差数列；
（2）设bn=n（n+1）an，求数列{bn}的前n项和Sn．
| 2n+1an |
| an+2n |
（1）证明：数列{
| 2n |
| an |
（2）设bn=n（n+1）an，求数列{bn}的前n项和Sn．
考点：数列递推式,数列的求和
专题：计算题,等差数列与等比数列
分析：（1）将an+1=
（n∈N）两边取倒数并化简得
=
+
，两边再同乘以2n+1，构造出
-
=1，从而数列{
}是等差数列；
（2）由（1）得，bn=n（n+1）an=n•2n，利用错位相消法求和．
| 2n+1an |
| an+2n |
| 1 |
| an+1 |
| 1 |
| 2n+1 |
| 1 |
| 2an |
| 2n+1 |
| an+1 |
| 2n |
| an |
| 2n |
| an |
（2）由（1）得，bn=n（n+1）an=n•2n，利用错位相消法求和．
解答：
解：（1）an+1=
（n∈N）．两边取倒数并化简得
=
+
，两边再同乘以2n+1，并移向得
-
=1，所以数列{
}是以
=2为首项，以1为公差的等差数列；且数列{
}的通项公式为
=2+（n-1）×1=n+1，从而数列{an}的通项公式为an=
．
（2）由（1）得，bn=n（n+1）an=n•2n，
数列{bn}的前n项和Sn=1×2+2×22+3×23+…+n•2n，
两边同乘以2得，2Sn=1×22+2×23+…+（n-1）•2n+n×2n+1，
两式相减，得-Sn=2+22+23+…+n•2n-n×2n+1=
-n×2n+1=2n+1-2-n×2n+1
=-（n-1）×2n+1-2，
所以Sn=（n-1）×2n+1+2
| 2n+1an |
| an+2n |
| 1 |
| an+1 |
| 1 |
| 2n+1 |
| 1 |
| 2an |
| 2n+1 |
| an+1 |
| 2n |
| an |
| 2n |
| an |
| 2 |
| a1 |
| 2n |
| an |
| 2n |
| an |
| 2n |
| n+1 |
（2）由（1）得，bn=n（n+1）an=n•2n，
数列{bn}的前n项和Sn=1×2+2×22+3×23+…+n•2n，
两边同乘以2得，2Sn=1×22+2×23+…+（n-1）•2n+n×2n+1，
两式相减，得-Sn=2+22+23+…+n•2n-n×2n+1=
| 2(1-2n) |
| 1-2 |
=-（n-1）×2n+1-2，
所以Sn=（n-1）×2n+1+2
点评：本题考查等差数列的证明，错位相消法求和，考查转化，构造，论证计算等能力．
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